3. Wachstumsfunktionen

Im folgenden Abschnitt soll eine Einführung in einige einfache Modelle gegeben werden, die Ihnen einen ersten Einblick in die vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten in die Modellbildung und Simulation dynamischer Systeme gibt.

Wachstumsvorgänge können in sehr vielen unterschiedlichen Bereichen beobachtet werden. So können Wachstumsvorgänge genauso in der Biologie wie in der Physik (Radioaktiver Zerfall), der Wirtschaft, der Geologie (Ablagerung von Sedimenten auf dem Meeresgrund) und in der Ökologie (Waldsterben) betrachtet werden.

Dabei ist mit Wachstum nicht immer nur die Zunahme einer Größe gemeint. Allgemein kann also Wachstum als die Veränderung einer Größe mit der Zeit beschrieben werden. In diesem Sinne ist der Wachstumsbegriff grundlegend für alle dynamischen Systeme.

Beim additiven Wachstum wird die Wachstumsgröße, auch Population genannt, durch Addition des alten Wertes der Population und einem konstanten Zuwachs berechnet.

Lineares oder additives Wachstum kann in der Natur über einen längeren Zeitraum nicht beobachtet werden. Lediglich für kurze Zeiträume können Wachstumsvorgänge durch additives Wachstum angenähert werden.

Flussdiagramm für additives Wachstum

Flussdiagramm für additives Wachstum

Bei dieser Art des Wachstums ist der Zuwachs selbst abhängig von der Wachstumsgröße. Beispielsweise gilt für die Vermehrung von Bakterien, daß auch die Zahl der Nachkommen bei zunehmender Population ansteigt. Im einfachsten Fall ist der Zuwachs ein Bruchteil der vorhandenen Zahl von Bakterien.

Flussdiagramm für freies Wachstum

Flussdiagramm für freies Wachstum

Die Konstanten, die den Zuwachs und die Abgänge beeinflussen, sind die Geburtenziffer und die Sterbeziffer. Sie sind bei dieser Form des Wachstums konstant.

Eine interessante Eigenschaft der exponentiellen Wachstumsfunktion besteht darin, dass die Zeitspanne zum Verdoppeln der Wachstumsgröße unabhängig von der erreichten Größe immer konstant ist: Hat sich die Größe z.B. nach 50 Zeiteinheiten verdoppelt, so kann man nach 100 Zeiteinheiten bereits eine Vervierfachung feststellen, nach 150 Zeiteinheiten eine Verachtfachung usw. Mit zunehmender Größe des exponentiellen Faktors wird die Verdopplungszeit immer kleiner. Diese Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist seit langer Zeit bekannt. In einer persischen Sage erbittet sich der Gewinner eines Schachspiels vom unterlegenen König auf das erste Feld ein Getreidekorn, auf das zweite Feld zwei Körner, auf das dritte Feld vier Körner usw. Der König ist hocherfreut über diesen scheinbar bescheidenen Wunsch, bis er schließlich erkennt, dass er die eingegangene Verpflichtung niemals würde erfüllen können. Selbst in einem französischen Kinderreim wird diese Problematik thematisiert; Eine Wasserlilie wächst jeden Tag auf die doppelte Größe an. Nachdem bereits der halbe See bedeckt ist, wird die Frage gestellt, wie lange es noch dauert, bis der See vollständig überwuchert ist.

Trotzdem ist diese Art des Wachstums intuitiv nur schwer nachvollziehbar. Selbst wenn bekannt ist, daß exponentielle Verläufe vorliegen, sind Versuchspersonen bei psychologischen Tests kaum in der Lage, verlässliche Schätzungen der zukünftigen Entwicklung abzugeben.

Die meisten Vorgänge in Natur lassen sich nur über einen begrenzten Zeitraum durch freies Wachstum beschreiben. Nach einer gewissen Zeit treten Beschränkungen des Wachstums durch Sättigung auf.

Flussdiagramm für das logistische Wachstum

Flussdiagramm für das logistische Wachstum

Zustandsgleichungen
   Population.neu = population.alt + dt*(zuwachs-abnahme ) 
   Startwert Population = 10 

Konstanten
  Zunahmekoeff = 2 
  Abnahmekoeff = 0.02 

Raten 
  Zuwachs = Zunahmekoeff*Population 
  Abnahme = Abnahmekoeff *Population * Population 

Zwischenwerte
  n = Population   

Simulationsergebnis des logistischen Wachstums

Simulationsergebnis des logistischen Wachstums

Beim freien oder exponentiellen Wachstum ist die Verdopplungszeit konstant. Das Wachstum der Weltbevölkerung folgt aber einem anderem Gesetz. Lag die Verdopplungszeit im Mittelalter noch bei 250 Jahren, so beträgt sie heute nur noch etwa 30 Jahre. Zur Simulation des explosiven Wachstum muss im Simulationsdiagramm für das logistische Wachstum ) der logistische Faktor (Abnahmekoeffizient) negativ gewählt werden.

Bei jedem organischen Prozeß entstehen Stoffwechselrückstände, die aus der betreffenden Umwelt entfernt werden müssen, da sonst eine Selbstvergiftung des Organismus auftritt.

Im Unterschied zum logistischen Wachstum nimmt die Population nach Erreichen eines Höchstwertes wieder ab. Die Giftmenge wirkt dabei bremsend auf das Wachstum. Da die Giftmenge in Abhängigkeit von der Population bei jedem Zeitschritt zunimmt und kein Abbau des Giftes stattfindet, kommt es zum Absterben der Organismen. Das Simulationsdiagramm ist Abb. 3.5, das Ergebnis der Simulation in Abb. 3.6 dargestellt.

Wachstum mit Selbstvergiftung

Wachstum mit Selbstvergiftung

Ergebnis der Simulation des Wachstums mit Selbstvergiftung

Ergebnis der Simulation des Wachstums mit Selbstvergiftung

Zustandsgleichungen 
  Population.neu = population.alt+dt*(zuwachs-abnahme)
  Startwert Population = 10
  Giftmenge.neu = giftmenge.alt+dt*(giftzuwachs )
  Startwert Giftmenge = 0

Konstanten
  Zunahmekoeff = 2
  Vergiftungskonst = 0.002

Raten
  Zuwachs = Zunahmekoeff*Population
  Abnahme = Vergiftungskonst *Population *Giftmenge
  Giftzuwachs = Population   

Eine Selbstvergiftung tritt aber nicht nur bei organischen, sondern auch bei technischen Prozessen auf. Auch unter diesem Gesichtspunkt können Waldsterben, Überdüngung, Abwasserverunreinigung und Müllproblematik auf unserem Raumschiff Erde betrachtet werden.

Mit der Zeit können sich Organismen an Gifte gewöhnen. Die ist von der Resistenz vieler Mikroorganismen gegen Pflanzengifte oder Penizillin bekannt. Im Modell kann man diese Eigenschaft so simulieren, daß der Vergiftungsfaktor nicht mehr konstant ist, sondern mit der Zeit kleiner wird. Für den Vergiftungsfaktor erhält man v=v.(1-r). Da der Vergiftungsfaktor immer kleiner wird, steigt die Population wieder an. Letztlich geht die Population in ein exponentielles Wachstum über. In der Praxis bedeutet dies beispielsweise für Pflanzenschutzmittel, dass durch größere Giftmengen der geringere Effekt ausgeglichen wird. Die Folgen werden meist erst Jahre später deutlich, da Gifte grundsätzlich nicht nur auf eine Tier- oder Pflanzenart wirken, und durch die Anreicherung in Nahrungsketten verheerende Auswirkungen auftreten können.

Außer dem Gewöhnungseffekt kann auch ein Abbau des Giftes stattfinden. Viele Gifte verlieren nach einiger Zeit z.B. durch bakterielle Einflüsse ihre Wirkung. Hierdurch kommt es zu Schwankungen der Wachstumsgrößen. Bestimmt wird der Abbau des Giftes durch den Abbaukoeffizienten.

Simulationsdiagramm des Wachstums mit Selbstvergiftung und Abbau des Giftes

Simulationsdiagramm des Wachstums mit Selbstvergiftung und Abbau des Giftes